积分算展开系数有困难？《张朝阳的物理课》特色方法算勒让德展开系数
在以前计算星球的潮汐形变时，张朝阳曾使用月球引力势在地球附近的勒让德展开式，那这个展开式是怎么得到的呢？3月16日12时，《张朝阳的物理课》第二百七十八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、麻省理工物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，为网友们介绍了线性性、函数空间的正交基、各种函数展开式等之间的内在联系，重温了月球引力势在地球附近的勒让德展开式，并通过求解拉普拉斯方程推导得到其中的展开系数，为推导潮汐形变所需的数学基础做了必要补充。
复习函数空间上的正交基展开
张朝阳先介绍了物理世界中的多种线性方程例子，包括量子力学、牛顿引力势的方程、波动方程等等。其中一部分的线性结构来源于严格的理论基础，比如量子力学中的线性性。而另外一些线性结构则来源于理论近似，比如引力势所满足的泊松方程、机械波满足的波动方程等等。正是因为这些线性结构，使得方程的解满足叠加原理，解空间构成了线性空间。
如果线性方程所对应的算子还满足特定的条件，以及给方程的解加上适当的边界条件，那么可以在解空间中引入内积使其成为希尔伯特空间，于是人们可以谈论任一个解在标准正交基下的展开式。之前直播课中介绍过的勒让德函数、球贝塞尔函数，都是正交基的例子。
为了介绍得更清楚一些，张朝阳举了量子力学中的薛定谔方程为例。自由粒子在坐标表象下的定态薛定谔方程为
如果令E=ℏ²k²/(2m)，那么上述方程可以被写为
在球坐标下重写这个方程，那么可以得到
在物理学上对这种方程的处理经常会使用分离变量法，比如预设形如 f(r)g(θ)φ(ϕ) 的解，代入上述方程，可以依据变量分离性得到三个本征方程。其中关于 φ(ϕ) 的本征方程是最简单的，其解就是指数函数。而对于 g(θ)，相应的本征方程为
如果定义 x=cos(θ)，那么上述方程能被改写为著名的连带勒让德方程：
在满足适当的边界条件下，上述方程的解为连带勒让德函数 P_l^m(x)。如果 m=0，那么就能得到勒让德多项式，换言之勒让德多项式 P_l(x) 满足如下方程
前面得到的这些都是角向有关的方程，而对于径向方程，那么有
在适当的边界条件下，该方程会得到球贝塞尔函数 j_l(kr)。
（张朝阳复习分离变量法处理自由粒子定态薛定谔方程）
前述这些函数都满足特定的正交关系，于是都能被用作展开基。对于自由粒子的定态波函数，可以使用这些函数展开成这样：
其中，A_{lm}(k) 是展开系数。严格来说，上式中对k并非是求和，而应该是积分。
月球引力势在地球附近的展开式
前面介绍的都是此前几节课强调过的内容，为了进一步说明这一整套方法的强大能力，张朝阳转而介绍起直播课之前使用过的引力展开式。具体来说，假设月球到地球的距离为 a，如下图所示：
以地球为中心、以地球指向月球的方向为极轴建立球坐标系。那么对于空间中任一点，它到月球的距离为
于是，月球在该点处的引力势为
